数学-公式概念
注意
出于方便，本文只记录在书中无记录而对作者来说值得一提的公式说明
初等数学
三角函数
和差公式 → 积化和差公式
和差公式 → 和差化积公式
和差公式(最基础)
$$
\begin{array}{ll}
\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B &
\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\\
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B &
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B
\end{array}
$$
积化和差公式
$$
\begin{aligned}
\sin A \sin B &= \frac{1}{2}\big[\cos(A-B)-\cos(A+B)\big], &
\sin A \cos B &= \frac{1}{2}\big[\sin(A+B)+\sin(A-B)\big] \\
\cos A \cos B &= \frac{1}{2}\big[\cos(A+B)+\cos(A-B)\big], &
\cos A \sin B &= \frac{1}{2}\big[\sin(A+B)-\sin(A-B)\big]
\end{aligned}
$$
和差化积公式
$$
\begin{aligned}
\sin A + \sin B &= 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}, &
\sin A - \sin B &= 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} \\
\cos A + \cos B &= 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}, &
\cos A - \cos B &= -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}
\end{aligned}
$$
推导例子
例如推导
$$
\cos A + \cos B.
$$
令
$$
u = \frac{A + B}{2}, \quad v = \frac{A - B}{2},
$$
则
$$
A = u + v, \quad B = u - v.
$$
于是
$$
\cos A + \cos B = \cos(u + v) + \cos(u - v).
$$
利用和角公式展开：
$$
= (\cos u \cos v - \sin u \sin v) + (\cos u \cos v + \sin u \sin v)
$$
得到
$$
= 2 \cos u \cos v.
$$
再代回
$$
u = \frac{A + B}{2}, \quad v = \frac{A - B}{2},
$$
便得到
$$
\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}.
$$
数学物理方法
顾樵 《数学物理方法》
基础理论知识
矢量微分算子与拉普拉斯算子
保守场梯度的旋度是0
$$
\nabla\times(\nabla u)=0
$$
物理解释：将u视作重力势能或电能，那么公式就是对于重力或电场强度的旋度，根据斯托克斯公式，可以将其转化为该 保守力对于闭合回路的线积分，其为0。静电场是保守场，但非静电场（如感生电场）不是。斯托克斯公式如下：
$$
\oint_ {\partial S} \mathbf {F} \cdot d \mathbf {r} = \iint_ {S} (\nabla \times \mathbf {F}) \cdot d \mathbf {S}
$$
斯托克斯公式（Stokes’ Theorem）是三维空间中的曲线积分与曲面积分之间的转换关系：曲线的绕行方向与曲面的法向量符合右手定则。